2013年3月15日 星期五

「6 ÷ 2(1+2) = ?」 的爭議

6 ÷ 2(1+2) = ?

這是小學幾年級的數學題?大概誰都覺得太簡單了吧?想不到的是,這樣的題目在美國的臉書上引起了爭論。網上雜誌 Slate 上有文章介紹這場風波,題目是〈這笨蛋數學題的答案是什麼?人們都在臉書上攪渾什麼?〉我心想,美國人的數學也太差勁了,這麼簡單的數也算不清了?但也好奇:裡面究竟有什麼文章?

你試算一算,答案是1?還是9?

你可能這樣算:6 ÷ 2(1+2) = 6 ÷ 2(3) = 6 ÷ 6 = 1 。──方法一。

也可能這樣算:6 ÷ 2(1+2) = 6 ÷ 2 x (1+2) = 3 x (1+2) = 3 x 3 = 9。──方法二。

好了,哪一個才是正確答案?爭論來了,兩個答案都有支持者。據那篇文章說,兩個答案都不能說「不對」。

這同樣有爭議。教學是公認最「科學」的,任何算式都應只有一個答案,1就是12就是2,非對即錯,不可能模稜兩可,不會像文化、藝術、歷史等人文學科領域的判斷那樣往往憑主觀作出。

我算出來的答案是 1,可是把算式輸入到谷歌,答案是9,而據說ACT, SAT, GRE 考試──假設試卷會出這樣的「笨蛋」題目──只接受9這個答案。這真讓我沮喪。

據說,方法一在「歷史上」是對的,即把算式中的2(1+2)理解為一個整數,例如2a,算式中的(1+2)就是a,等於2(3),等於6。算式中第一個6是被除數,等於分數中的分子;後面的2(1+2)是除數,等於分母。於是6 ÷ 6 等於1

文章說,美國190719101912版的高中數學教科書都「建議」,計算乘除數時,應按算式中乘除符號從左到右出現的先後次序計算。這就是方法二的運算。可是數學歷史學家Florian Cajori一九二八到二九年在《數學符號史》(A History of Mathematical Notations)一書中指出:「算術題或代數題若含有 ÷ 和 號,目前並沒有協議該先處理哪個符號。」八十多年過去了,現在是否有協議?文章沒有說明。

我不知道那算式是哪裡冒出來的。我認為,這算式的標示本身有問題,它應該可以按需要標示得較清晰,例如:
1. 6 ÷ 2 x (1+2) = ?
2. 6 ÷2 x (1+2)= ?
3.     6
   ─── = ?
   2 (1+2)

數學有很悠久的歷史,可是標誌算式的方法不斷在改進。如今大家熟知的 ÷ 號,以前有過五六個版本,有些現在還使用,例如「:」和「 /」 還用來表示比例、分數,12,和1/2,都等於 1 ÷ 2。括號是為了標示清楚計算次序而出現的,否則ab/cd 是表示 (ab)÷(cd) ,還是 ((ab)÷c)÷d,還是……就不清不楚了。上述算式就沒有適當借助括號。

文章指出,「運算次序」至今沒有世界公認的規則。

這很出人意料之外。當人們越來越「科學」,越來越喜歡把複雜的問題量化為數字以示夠「科學」的時候,我們在算術的基本問題上據然還那麼「說不準」。

從這簡單的算術題可以看到兩點:一是世界真複雜,少輕言「普世」;二是面對問題,先要弄清楚問題的真正意思是什麼,提出問題的人可能連自己都弄不清楚問題是什麼呢。
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怎麼算這簡單的算式,YouTube 居然也有不同展示:
http://www.youtube.com/watch?v=JPe1aBW_YC

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