2009年5月26日 星期二

一個神秘數字:0.77

日前在《紐約時報》上看到一個神秘的數字:0.77。

數字出現在一位數學家寫的文章上。這位名叫Steven Strogatz的數學家是康奈爾大學的應用數學教授,他介紹了數學家眼中的城市發展,並引出了0.77這個數字。

城市發展原來存在着一定的數學規律,例如,哈佛大學的George Zipf 一九四九年提出過一個Zipf法則,指出一個國家的大大小小城市的規模之間,存在一個固定的比例,就是最大城市的人口,是第二大城市的一倍,而第二大城市的人口,又是第三大城市人口的一倍。

這樣的法則已存在超過一百年。各國情況很不一樣,又各有外來移民的影響,城市的發展竟然有同一規律,很使人驚奇。為什麼會這樣,沒有人知道。

去年拿到諾貝爾經濟學獎的克魯格曼也研究過這個問題,並有這樣的評論:「人們常常投訴,說經濟學理論提出的模型太簡化了,把錯綜複雜的現實歸納得過於簡潔。可是Zipf法則卻告訴人們,情況恰恰相反:我們提出的模型錯綜複雜,倒是現實簡潔得令人吃驚。」

二零零六年,數學家又從城市發展中發現了一個同樣令人吃驚的規律。

無論城市大小,一些基本設施是必不可少的。城市大了,對基本設施的需求就增加。這需求是按人口比例,例如人口增加十倍,設施就要增加十倍的增加嗎?原來不是,這是按0.77次幂──也就是小於1──的比例增加的。

也就是說,城市規模大了,效率提高,較環保,對所有基礎設施的需求都一樣,例如道路、水管、電纜……都一樣。如果有不同的話,是0.7至0.9次幂之間的差異。

不單止對城市是這樣,一個生物體運用能源的效益也一樣。即是說,一個生物體的體積大些,耗用能源的效益就大些。老鼠的細胞和大象的細胞,如果分離出來做實驗,耗用能源的效益一樣。但在活生生的老鼠和大象身上,細胞消耗能源的效益就不同,大象的細胞消耗較少能源。這叫Kleiler法則,身體消耗的能源,按增加體重的0.74幂增加。

0.74與0.77是不是偶然的巧合?研究人員認為不是,而是顯示一個約為0.75的常數。

這揭示了現在常常提到的規模效應的內在秘密。一件事情,規模大了,就有效益提高帶來的好處。

這其實已是常識,煮一個雞蛋一定不及一起煮十個、一百個雞蛋划算;用洗衣機洗衣,滿載才洗最慳錢……。為什麼香港商人要向北望?道理是一樣的──規模效應,市場大了,生意做大了,生產規模大了,效益就提高,利潤就提高。

不僅經濟上是這樣,其他方面也一樣。用七百萬人城市的經驗去看13億人的國家,問題一定看不準。

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